Centro Regional De Educación Normal Dr. Gonzalo Aguirre Beltrán.

TEOREMA

Introducción

Desde el principio de la historia la aritmética a sido fundamental en la vida humana ya que dentro de ella se incluyen distintos cálculos básicos que se necesitan usar en las actividades cotidianas, Los registros más antiguos datan de la Edad de Piedra: huesos, palos, piedras talladas y escarbadas con muescas, presumiblemente con fines de conteo, de representación numérica y calendarios.

Hoy en día la aritmética sigue siendo de gran relevancia simplemente que hoy en dia se han modificado varias cosas atreves de los años, las cuales han sido impartidas al menos aquí en México desde que ingresamos al ámbito académico para que a través de los años vayamos teniendo un dominio más desarrollado sobre estas. En el ensayo presentado a continuación, abordaremos el teorema de la aritmética.

Desarrollo

Este teorema habla más que nada acerca  de la importancia de los nueros primos que como sabemos los números son números mayores que 1 que solamente tienen dos divisores: el mismo número y el número 1, en este teorema se sustenta la idea de que los números primos son la base de los demás números naturales, en este teorema también se incluye acerca de que el número 1 no es incluido en los números primos, Conocer la factorización en primos de un número permite encontrar todos sus divisores, primos o compuestos, Una vez que se conoce la factorización en primos de dos números, se pueden hallar fácilmente su máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

El teorema fue prácticamente demostrado por primera vez por Euclides, aunque la primera prueba completa apareció en las Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauss.

La demostración se hace en dos pasos. En el primero se demuestra que todo número es un producto de primos (incluido el producto vacío). En el segundo se demuestra que cualesquiera dos representaciones son iguales.
 

* Descomposición en primos
 

Supóngase que existe algún entero positivo que no puede representarse como producto de primos. Entonces debe haber un mínimo número n con esa propiedad. Este número n no puede ser 1, por la convención anterior. Tampoco puede ser un primo, porque todo primo es el producto de un único número primo: él mismo. Así pues, n = ab, donde a y b son enteros positivos menores que n. Como n es el mínimo entero positivo para el que falla el teorema, tanto a como b pueden escribirse como producto de primos. Pero entonces n = ab también puede escribirse como producto de primos, lo que es contradictorio.

* Unicidad

La demostración de la unicidad se apoya en el siguiente hecho: si un número primo p divide a un producto ab, entonces divide a a o divide a b (lema de Euclides). Para demostrar este lema, si se supone que p no divide a a, entonces p y a son primos entre sí y por la identidad de Bézout existen x e y enteros tales que px + ay = 1. Multiplicando por b se obtiene pbx + aby = b, y puesto que los dos sumandos del lado izquierdo son divisibles por p, el término de la derecha también es divisible por p.
Dados dos productos de primos que tengan igual resultado, tómese un primo p del primer producto. Divide al primer producto, y por lo tanto también al segundo. Por el hecho anterior, p debe dividir al menos a un factor del segundo producto; pero los factores son todos primos, así que p debe ser igual a uno de los factores del segundo producto. Se puede entonces cancelar a p de ambos productos. Siguiendo de esta forma se cancelarán todos los factores de ambos productos, con lo cual éstos deben coincidir exactamente.

Conclusiones:

Como se pudo ver en este tema la importancia de la aritmética es la base de muchos otros temas de matemáticas es decir no podemos hacer a un lado el conocimiento de la misma si no que debemos estudiarla para comprenderla porque aquí fue donde nos damos cuenta de que su teorema es algo compleja y se necesita de la práctica para entenderla.